Podstawy

• Funkcje i ich własności

  Funkcje wyłożone od podstaw: geneza pojęcia (Oresme, Euler, Dirichlet), przejście od relacji do funkcji, test prostej pionowej, dziedzina i przeciwdziedzina, pełny katalog funkcji elementarnych z wyprowadzeniami, własności (monotoniczność, ekstrema, parzystość, okresowość, wypukłość, asymptoty), przekształcenia wykresów, złożenie, funkcja odwrotna, iniekcja/surjekcja/bijekcja, funkcje wielu zmiennych w 3D oraz idea czwartego wymiaru i uogólnienie na przestrzeń $\mathbb{R}^n$. Każde pojęcie i każdy przykład z osobnym rysunkiem.

• Granice i ciągłość

  Granica wyłożona od podstaw: geneza (paradoksy Zenona, nieskończenie małe Newtona i Leibniza, rygor Cauchy'ego i Weierstrassa), granica ciągu z definicją ε–N, granica funkcji z definicją ε–δ, definicja Heinego, prawa rachunku granic z uzasadnieniem, granice jednostronne, symbole nieoznaczone, twierdzenie o trzech funkcjach z dowodem, granica sin x / x, granice w nieskończoności i liczba e, ciągłość i jej rodzaje, twierdzenie o wartości pośredniej, granice funkcji wielu zmiennych w 3D oraz uogólnienie ciągłości na ℝⁿ. Każde pojęcie i każdy przykład z osobnym rysunkiem.

• Pochodne — tempo zmian

  Pochodna wyłożona od podstaw: geneza (problem stycznej Fermata, fluksje Newtona, dx Leibniza), iloraz różnicowy i granica, pochodna z definicji, różniczkowalność a ciągłość (dowód), reguły różniczkowania z wyprowadzeniem reguły iloczynu, reguła łańcuchowa, pochodne funkcji elementarnych, pochodne wyższych rzędów, monotoniczność i wypukłość, twierdzenie Fermata i twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej, wzór Taylora, zastosowania ekonomiczne (maksymalizacja zysku, elastyczność), pochodne cząstkowe i gradient w 3D oraz uogólnienie na ℝⁿ. Każde pojęcie i każdy przykład z osobnym rysunkiem.

• Całki — sumowanie nieskończenie wielu składników

  Całka wyłożona od podstaw: geneza (metoda wyczerpywania Archimedesa, problem pola, Newton i Leibniz), suma Riemanna z sumami dolną i górną, całka oznaczona jako pole, funkcja pierwotna i całka nieoznaczona, podstawowe twierdzenie rachunku całkowego z uzasadnieniem, całkowanie przez podstawienie i przez części (z interpretacją geometryczną), całki niewłaściwe, zastosowania ekonomiczne (koszt całkowity, nadwyżka konsumenta, wartość bieżąca), całki podwójne jako objętość w 3D oraz uogólnienie na ℝⁿ. Każde pojęcie i każdy przykład z osobnym rysunkiem.

• Algebra liniowa — wektory i macierze

  Algebra liniowa wyłożona od podstaw: geneza (układy równań, eliminacja Gaussa, macierze Cayleya, wyznaczniki), wektory i ich operacje, iloczyn skalarny, norma i kąt, kombinacja liniowa i baza, macierze i mnożenie z pełnym rachunkiem, macierz jako przekształcenie liniowe, wyznacznik jako pole, macierz odwrotna, wartości i wektory własne, geometria układów równań, regresja w zapisie macierzowym i rzut prostopadły w 2D i 3D oraz uogólnienie na ℝⁿ. Każde pojęcie i każdy przykład z osobnym rysunkiem.

• Statystyka opisowa

  Statystyka opisowa wyłożona od podstaw: geneza (Graunt, Quetelet, Galton, Pearson), rodzaje zmiennych, miary położenia (średnia jako punkt równowagi, mediana, moda) z analizą wartości odstających, miary zmienności (wariancja, odchylenie standardowe, współczynnik zmienności), kwantyle i wykres pudełkowy, skośność i kurtoza, współczynnik korelacji, standaryzacja oraz dane wielowymiarowe w ℝⁿ. Każde pojęcie i każdy przykład z osobnym rysunkiem.

• Wariancja i odchylenie standardowe

  Wariancja i odchylenie standardowe wyłożone od podstaw: geneza pojęcia rozrzutu, dlaczego średnia nie wystarcza, konstrukcja wzoru (uzasadnienie kwadratu), wariancja jako średnie pole kwadratów odchyleń, odchylenie standardowe i jego interpretacja, populacja a próba i poprawka Bessela z uzasadnieniem, nierówność Czebyszewa, kowariancja i elipsa kowariancji oraz uogólnienie na ℝⁿ. Każde pojęcie i każdy przykład z osobnym rysunkiem.

• Korelacja i współczynnik Pearsona

  Korelacja wyłożona od podstaw: geneza (Galton, regresja do średniej, Pearson), definicja współczynnika, znak iloczynu odchyleń, obraz r na wykresach rozrzutu, obliczenie współczynnika, geometryczna interpretacja r = cos θ w ℝⁿ, ograniczenie do związków liniowych, kwartet Anscombe'a, korelacja a przyczynowość (zmienna ukryta), korelacja a nachylenie regresji oraz korelacja rangowa Spearmana. Każde pojęcie i każdy przykład z osobnym rysunkiem.

• Rozkłady prawdopodobieństwa

  Rozkłady prawdopodobieństwa wyłożone od podstaw: geneza rachunku prawdopodobieństwa, zmienne losowe dyskretne i ciągłe, funkcja gęstości i dystrybuanta, rozkład normalny, rozkład t-Studenta i jego grube ogony, rozkład chi-kwadrat jako suma kwadratów zmiennych normalnych, rozkład F-Snedecora, związki między rozkładami, zastosowania w testowaniu hipotez oraz uogólnienie na ℝⁿ. Każde pojęcie i każdy przykład z osobnym rysunkiem.

• Rozkład normalny

  Rozkład normalny (Gaussa) wyłożony od podstaw: geneza (de Moivre, Laplace, Gauss, Quetelet), pochodzenie krzywej dzwonowej jako granicy rozkładu dwumianowego, wzór gęstości i rola parametrów μ i σ, reguła 68-95-99,7, standaryzacja z dowodem, wynik z, ogony i wartości krytyczne, rozkład dwuwymiarowy w 3D, poziomice eliptyczne oraz rozkład wielowymiarowy w ℝⁿ. Każde pojęcie i każdy przykład z osobnym rysunkiem.

• Centralne twierdzenie graniczne

  Centralne twierdzenie graniczne wyłożone od podstaw: geneza (deska Galtona, twierdzenie de Moivre'a–Laplace'a, Lindeberg i Lévy), prawo wielkich liczb, treść twierdzenia, ilustracja zbieżności rozkładu średniej do normalnego niezależnie od populacji, błąd standardowy i reguła pierwiastka z n, wielowymiarowe CTG w 3D, znaczenie dla wnioskowania ekonometrycznego oraz weryfikacja symulacyjna. Każde pojęcie i każdy przykład z osobnym rysunkiem.

• Metoda najmniejszych kwadratów: historia, teoria i dowody

  Kompletna historia metody najmniejszych kwadratów: od XVIII-wiecznych pomiarów kształtu Ziemi i prekursorów (Cotes, Mayer, Bošković), przez pierwszą publikację Legendre'a (1805), oryginalne wyprowadzenie Gaussa (1809) i probabilistyczny fundament Laplace'a, po twierdzenie Gaussa-Markowa (1823) i narodziny regresji. Z datami, nazwiskami, oryginalnymi cytatami, dowodami i portretami.